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上杭县第三中学《例谈中考对学生数学能力的考查》

例谈中考对学生数学能力的考查

上杭县第三中学  吴永春

2017年《福建省中考初中数学学科教学与考试指导意见》指出:初中数学应注重知识与素养两条主线的交融、协调,从整体上把握教学内容,突出数学本质,发挥各种能力和思想方法对初中数学知识的统摄作用,保持能力发展的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性。

数学基本能力包括运算能力、推理能力、空间观念、数据分析观念、应用意识、创新意识等六个方面,本文试从近几年我省的部分试题谈谈中考对学生数学能力的考查的一些特点。

一、运算能力的考查:

运算能力是指会根据法则和运算律进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估算和近似计算。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、确定运算程序等一系列过程的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力,运算能力对于数学学习是最基础又应用最广的一种能力,是思维能力和运算技能的结合。

运算能力的四个要素:

1.运算的合理性——即算理,这是运算能力的核心;

运算的合理性表现在:从运算的目标出发,研究运算(变形)方向、确定运算路径、并对运算结果作出判断等思维活动。

2.运算的准确性——这是运算能力的基本要求;

3.运算的熟练性——它是思维的敏捷性的表现;

4.运算的简捷性——即算法,它是思维的深刻性、灵活性的体现。

运算能力主要从算理、算法、推理、估算、数感和符号意识这几个方面进行考查:

例1:下列各式的计算或变形中,有用到乘法分配律的是

A的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:

(1)用签字笔画AD∥BCD为格点),连接CD

(2)线段CD的长为      

(3)EBC中点,则sinCAE的值是       .

例9:已知锐角三角形ABC,点DBC的延长线上,连接AD,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠DAD=2,AC,根据题意画出示意图,并求tanD的值.

【评析】本题考查图形的性质和计算,测量目标是根据条件画简单平面图形以及从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系。培养学生的空间观念,一方面是培养识图能力、画图能力,另一方面是培养推理能力、提高论证意识以及应用意识。

例10:如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将ADM沿直线AM对折,得到ANM

(1)当AN平分MAB时,求DM的长;

(2)连接BN,当DM=1时,求ABN的面积;

(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.

【评析】第(2)小题的解题关键是从已知条件联想到基本的形,并能分析其中的基本元素及其关系:方法一,从∠ADM=∠ANMABCD,延长MNAB于点P,则PM=PA(这是角平分线、平行、等腰三角形的基本图形);方法二,过点NAB的垂线分别交ABCDEF,则有△AEN∽△NFM(这是一线三等角的基本图形)。第(3)小题可以这样思考:DF最大则CF最小,从而∠FBC最小,∠ABF最大,作AGBF于点G,即AG最大,因为,所以当ANBFDF最大(这里是合情推理和抽象概况能力)。

添加辅助线构建基本图形是学生将空间观念具体化的一种方式。

四、数据分析观念的考查

数据分析观念是指学生会收集、分析数据,并根据数据中蕴涵的信息选择合适的方法做出合理的质疑、判断,并解决给定的实际问题,体验随机性。

数据分析观念主要可通过两个目标来测量:

(1)会收集、描述数据;

(2)依据统计的方法对数据进行整理、分析,并得出合理的判断;

(3)会用列举法求随机事件的概率,并根据计算结果作出合理推断。

例11:已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁,但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误,将14岁写成15岁.经重新计算后,正确的平均数为a岁,中位数为b岁,则下列结论中正确的是

Aa<13, b=13  B.a<13 ,b<13   C.a>13,b<13  D.a>13,b=13

【评析】本题以中位数和平均数的概念理解为考查内容,解题关键是能够应用平均数、中位数的定义、依据实际数据的变化推出平均数的取值范围及中位数的大小;试题还从理解有关的算理的角度考查学生的运算能力,很有特色。

五、应用意识和创新意识的考查

应用意识是指认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题可以抽象成数学问题,并有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题,一般从两个方面考查:

(1)知道一些基本数学模型,并通过运用,解决简单的实际问题;

(2)依据基本数学模型对简单的实际问题进行定量、定性分析。

创新意识主要指能发现和提出简单数学问题,初步懂得应用所学的数学知识、技能和基本思想进行独立思考;能归纳概括得到猜想和规律,并加以验证。

创新意识通常从两个方面考查:

(1)使用观察、尝试、实验、归纳、概括、验证等方式得到猜想和规律

(2)用已有的知识经验解决新情境中的数学问题.

例12:如图,在ABC中,ABBCA=25°,点D是边AB延长线上的一点.请在图中画出过点D且与BC平行的直线DE,并简述直线DEBC平行的理由。

【评析】这是一道开放题,既可以尺规作图,也可以用工具画图,方法也多样。如果用尺规作图,通常是作一个角等于已知角或者作相等的线段构造全等三角形或平行四边形;如果是用工具画图,通常是用量角器画出给定度数的角,利用平行线的判定说明平行。如

方法一:如图,作EDF=∠CBD,(注意要保留作图痕迹)

则有,BCDE.

方法二:用量角器画EDF=50°(如图)

ABC中,ABBCA=25°∠C=∠A=25

CBD=∠C+∠A=50°=∠EDF

BCDE.

例13:已知点A(1,c)和点B (3,d )是直线yk1xb与双曲线yk2>0)的交点.

(1)过点AAMx轴,垂足为M,连结BM.若AMBM,求点B的坐标;

(2)设点P在线段AB上,过点PPEx轴,垂足为E,并交双曲线yk2>0)于点N.当 取最大值时,若PN,求此时双曲线的解析式.

【评析】本题是代数综合题,以函数为载体,测量基础知识和基本技能、函数思想、数形结合思想、化归与转化思想、待定系数法、配方法、创新意识、运算能力等目标.主要测量目标是创新意识.即考查学生能否综合运用分式运算、一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识及数形结合思想、化归与转化思想、待定系数法探索两条曲线上的纵坐标之间的函数关系、进而解决动点最大值问题.第(2)小题的解题要点是:构造三角形相似或求直线解析式可求,本题是一道纯函数的试题,它所关注的是如何从代数的条件中研究函数关系,试题的设问蕴含“变量”的思想,正是“函数思想”的核心要素,对函数教学有启发意义.

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